Matemática discreta Ejemplos

$[\begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 2 & - 2 \end{array}]$

Paso 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 2

Find the determinant.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 2 - (- 2 \cdot 1)$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$- 10 - (- 2 \cdot 1)$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- (- 2 \cdot 1)$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 10 - - 2$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- 10 + 2$

Paso 2.2.2

Suma $- 10$ y $2$ .

$- 8$

Paso 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 8} [\begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 2 & 5 \end{array}]$

Paso 5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{8} [\begin{array}{c} - 2 & - 1 \\ 2 & 5 \end{array}]$

Paso 6

Multiplica $- \frac{1}{8}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8} \cdot - 2 & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{8}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{8} \cdot - 2 & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.1.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 (4)} \cdot - 2 & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.1.3

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 1) & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.1.4

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot (2 \cdot - 1) & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.1.5

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{4} \cdot - 1 & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.2

Combina $\frac{- 1}{4}$ y $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- - 1}{4} & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.4

Multiplica $- \frac{1}{8} \cdot - 1$ .

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Paso 7.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & 1 (\frac{1}{8}) \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.4.2

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{8}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ \frac{- 1}{8} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.5.2

Factoriza $2$ de $8$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ \frac{- 1}{2 (4)} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.5.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ \frac{- 1}{2 \cdot 4} \cdot 2 & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.5.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ \frac{- 1}{4} & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{4} & - \frac{1}{8} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.7

Multiplica $- \frac{1}{8} \cdot 5$ .

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Paso 7.7.1

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{4} & - 5 (\frac{1}{8}) \end{array}]$

Paso 7.7.2

Combina $- 5$ y $\frac{1}{8}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{4} & \frac{- 5}{8} \end{array}]$

Paso 7.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{4} & - \frac{5}{8} \end{array}]$